算法学习笔记(8.1): 网络最大流算法 EK, Dinic, ISAP

网络最大流

前置知识以及更多芝士参考下述链接
网络流合集链接:网络流


最大流,值得是在不超过管道(边)容量的情况下从源点到汇点最多能到达的流量

抽象一点:使 (sum_{(S, v) in E} f(S, v)) 最大的流函数被称为网络的最大流,此时的流量被称为网络的最大流量


有了最大流量,就可以通过奇奇怪怪的建模解决很多令人摸不着头脑的题

例如二分图

对于一张二分图,经过建模之后我们可以这样画

算法学习笔记(8.1): 网络最大流算法 EK, Dinic, ISAP插图

其中左部点集 (A = {1, 2, 3, 4}),右部点集 (B = {5, 6, 7, 8}), 其中源点为 (0),汇点为 (9)

建模过程:

新增一个源点 (S) 和一个汇点 (T), 从 (S) 到每一个左部点连有向边,从每一个右部点到 (T) 连有向边,把原二分图的每条边看作从左部点到右部点的有向边,形成了一张 (n + 2) 个点 (n + m) 条边的网络。其中每一条边的容量都为 (1)

不难发现,二分图的最大匹配数就等于网络的最大流量。求出最大流后,所有有有”流“经过的点,边就是匹配点,匹配边。

进一步的:如果要求二分图多重匹配,依据题目信息改变连接汇点和源点的边的容量即可

计算最大流的算法很多,这里主要讲解 (EK (Edmonds-Karp))(Dinic)(ISAP) 算法。


EK 增广路算法

这里的增广路与二分图里面的增广路有不一样了 Q^Q

增广路:若一条源点 (S)(T) 的路径上各边的剩余容量都严格大于 (0),则称这条路径为增广路。显然,可以让一个流沿着增广路流过,使得网络的流量增大。

(EK)的思路就是不断进行广度优先搜索寻找增广路,直到不存在增广路为止。

而在搜索的时候,我们只考虑图中所有 (f(x, y) 的边(或者说是有剩余容量的边)。在寻找路径的同时,还要记录其前驱结点以及路径上的最小容量(minf), 在找到一条增广路后,则网络的流量可以增加 (minf)

但是,考虑到斜对称的性质,由于我们需要把增广路上的所有边的剩余容量 (e(u, v)) 减去(minf),所以要在对其反边容量 (e(v, u)) 加上 (minf)

初始化的时候,如果是有向边 ((u, v)),则 (e(u, v) = c(u, v), e(v, u) = 0),如果是无向边,则 (e(u, v) = e(v, u) = c(u, v))

?: 为什么会出现无向边,网络流不是有向图吗?

考虑双向道路马路,既可以顺流,又可以逆着。

例如:[ICPC-Beijing 2006] 狼抓兔子 - 洛谷

这道题需要用到最小割,顺便说一下,最小割 = 最大流

?: 为什么使用BFS,而不是DFS?

因为DFS可能会绕圈圈……在讲述DInic的时候我会再提及

复杂度:复杂度上界为 (O(nm^2)),然而实际上远远达不到这个上界,效率还行,可以处理 (10^3 sim 10^4) 规模的网络

--《算法竞赛进阶指南》

我不会证明,下面的两个算法也不会 Q^Q

这里给出一种参考代码

【模板】网络最大流 - 洛谷

提交记录:记录详情

#include 
#include 
#include 
#include 

using std::deque;

const int N = 2e3 + 7, M = 5e5 + 7, INF = 0x7F7F7F7F;

int n, m, s, t;
int to[M], nex[M], wi[M] = {INF};
int head[N], tot = 1;

void add(int u, int v, int w) {
    to[++tot] = v, nex[tot] = head[u], wi[tot] = w, head[u] = tot;
}

void read() {
    scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &s, &t);

    int u, v, w;
    for (int i = 0; i  que;

    push(s); inq[s] = ++it;

    int x, y;
    while (!empty()) {
        x = top(); pop();
        for (int i = head[x]; i; i = nex[i]) {
            if ((inq[(y = to[i])] ^ it) && wi[i]) {
                px[y] = x, pe[y] = i;
                if (y == t) return 1; // 找到增广路了,
                inq[y] = it; push(y);
            }
        }
    }
    return 0; // 到不到了,没有增广路了
}

void work(long long & res) {
    while (bfs()) {
        int val = INF;
        for (int x = t; x ^ s; x = px[x]) {
            val = min(val, wi[pe[x]]);
        }

        for (int x = t; x ^ s; x = px[x]) {
            wi[pe[x]] -= val;
            // 处理反边的时候利用了成对变换的方法!
            wi[pe[x] ^ 1] += val;
        }

        res += val;
    }
}

int main() {
    read();

    long long res = 0;
    work(res);
    printf("%lldn", res);
    return 0;
}

Dinic

考虑到 (EK) 算法每一次在残量网络上只找出来的一条增广路,太慢了,所以有了更优化的东西 Dinic?歌姬吧

先引入一点点概念:

深度:在搜索树上的深度(BFS搜索时的层数)

残量网络:网络中所有节点以及剩余容量大于 (0) 的边构成的子图

分层图:依据深度分层的一段段图……或者说在残量网络上,所有满足 (dep[u] + 1 = dep[v]) 的边 ((u, v)) 构成的子图。

分层图显然是一张有向无环图

Dinic 算法不断重复下述过程,直到在残量网络中,(S) 不能到达 (T)

  • 利用BFS求出分层图
  • 在分层图上DFS寻找增广路,在回溯的时候实时更新剩余容量。另外,每个点可以同时流出到多个结点,每个点也可以接收多个点的流。

?: 这里为什么可以使用DFS

由于我们分了层,意味着DFS只会向更深的地方搜索,而不会在同一层乱跳,甚至搜索到前面。这也是为什么EK用BFS更优秀

复杂度:一般来说,时间复杂度为 (O(n^2m)),可以说是不仅简单,而且容易实现的高翔算法之一,一般能够处理 (10^4 sim 10^5) 规模的网络。特别的,用此算法求二分图的最大匹配时只需要 (O(msqrt{n})), 实际上表现会更好。

题目不变

没有当前弧优化:提交详情

有当前弧优化:记录详情

// 重复内容已省略

int dis[N], vis[N], vt = 0;
int now[N]; // 用于当前弧优化
// return true if exists non-0 road to t
bool bfs() {
    memset(dis, 0, sizeof(dis)); dis[s] = 1;

    deque que;
    que.push_back(s);
    while (que.size()) {
        int x = que.front(); que.pop_front();
        now[x] = head[x]; // 更新当前弧
        for (int y, i = head[x]; i; i = nex[i]) {
            if (!dis[y = to[i]] && wi[i]) {
                dis[y] = dis[x] + 1;
                que.push_back(y);
                if (y == t) return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

#define min(x, y) ((x) 

?: 当前弧优化是个啥玩意

注意到如果我们每一次遍历后,对于当前边 ((u, v)),不可能再有流量流过这条边,所以我们可以暂时的删除这条边……注意,只是暂时,每一分层的时候是需要考虑这条边的,因为这条边的剩余流量不一定为 0


ISAP

某位大佬的博客上说这是究极最大流算法之一。还有一个HLPP(最高标记预留推进),思路完全与这几个方法不同,不依赖于增广路,我会把它放在另外的文章中单独讲。我可不会告诉你们是我不会优化,太笨了,看不懂大佬的优化

题目链接:【模板】最大流 加强版 / 预流推进 - 洛谷

这是我的:记录详情 4.77s

这是大佬的:记录详情 185ms

由于Dinic需要多次BFS……所以有些不满足的数学家决定优化常数……于是有了ISAP,只需要一次BFS的东西……

可恶,竟然没有找到不用gap优化的写法 T^T

ISAP算法从某种程度上是SAP算法和Dinic的融合

SAP算法就是所谓的EK算法……ISAP也就是Improved SAP……但是主体怎么跟DInic几乎一模一样!

算法流程如下:

  1. (T) 开始进行BFS,直到 (S) ,标记深度,同时记录当前深度有多少个
  2. 利用DFS不断寻找增广路,思路与Dinic类似
  3. 每次回溯结束后,将所在节点深度加一(远离 (T) 一点),同时更新深度记录。如果出现了断层(有一个深度没有点了)那么结束寻找。

?: 为什么需要深度加一

由于我们在便利过一次过后,这个点不可能再向更靠近 (T) 的点送出流量,所以只能退而求其次,给自己同层的结点送流量。

怎么跟Dinic一摸一样啊,关键是也可以用当前弧优化,只是我用写的是vetor存图……用不了

参考代码……

提交题目还是【模板】网络最大流 - 洛谷

记录详情

!! 竟然在最优解第二页 O-O

对于下面代码做出一些解释

?: 为什么终止条件是 dep[s] > n

考虑如果是dep[s] 的情况,由于只有n个点,意味着只要最大深度 (lt n) 那么要么是有连续的层,要么断层了(此时我们在DFS中会将dep[s]设为n+1

如果最大深度 (gt n) 所以一定会有一个深度是没有点的,意味着一定出现了断层,也就是流量无法到达了

所以,更新答案之后就可以结束循环了

// 写这个的时候,借鉴了写HLPP最优解的大佬写快读的方法……
template
inline void read(T &x) {
    char c, f(0); x = 0;
    do if ((c = getchar()) == '-') f = true; while (isspace(c));
    do x = (x inline void read(T &t, Args&... args) { read(t), read(args...); }

typedef long long Data;
using namespace std;

const int N = 207, M = 5007;

struct Edge {
    int to;
    size_t rev; // 反边的位置,用int也没问题
    Data flow;
    Edge(int to, size_t rev, Data f) : to(to), rev(rev), flow(f) {}
};

class ISAP {
public:
    int n, m, s, t;
    vector dep;
    int q[N * 2], gap[N * 2];

    // vector > v;
    vector v[N * 2];

    ISAP(int n, int m, int s, int t) : n(n), m(m), s(s), t(t) {
        input();
    } 

    inline void input() {
        // v.resize(n + 1);
        for (int x, y, f, i(0); i ^ m; ++i) {
            read(x, y, f);
            v[x].push_back(Edge(y, v[y].size(), f));
            v[y].push_back(Edge(x, v[x].size() - 1, 0));
        }
    }

    inline void init() {
        dep.assign(n + 1, -1);
        dep[t] = 0, gap[0] = 1;

        // 如果要用手写队列,要开大一点……避免玄学RE,虽然理论上N就够了
        register int qt(0), qf(0);
        q[qt++] = t;
        int x, y;
        while (qf ^ qt) {
            x = q[qf++];
            for (auto &e : v[x]) {
                if (dep[(y = e.to)] == -1) // if dep[y] != -1
                    ++gap[(dep[y] = dep[x] + 1)], q[qt++] = y;
            }
        } // bfs end
    }

    inline Data sap(int x, Data flow) {
        if (x == t) return flow;

        Data rest = flow;
        int y, f;
        for (auto &e : v[x]) {
            if (dep[(y = e.to)] + 1 == dep[x] && e.flow) {
                f = sap(y, min(e.flow, rest));
                if (f) {
                    e.flow -= f, v[e.to][e.rev].flow += f;
                    rest -= f;
                }
                if (!rest) return flow; // flow all used
            }
        }

        // change dep
        if (--gap[dep[x]] == 0) dep[s] = n + 1; // can not reach to t
        ++gap[++dep[x]]; // ++depth
        return flow - rest;
    }

    inline Data calc() {
        Data maxflow(0);
        static const Data INF(numeric_limits::max());
        // dep[s]最大为n,为一条链的时候
        while (dep[s] 

?: 如果我想用vector存图实现当前弧优化怎么整

在sap函数的主体部分

for (int & i = now[x]; i 

在calc不部分

while (dep[s] 

然后……就搞定了QwQ

作者有话说

一般来说,如果图非常稠密(边数远远大于点数),当前弧优化的力度就非常大了

如:Zoj3229 Shoot the Bullet|东方文花帖|【模板】有源汇上下界最大流 - 洛谷

这个专题我会放在网络流的其他部分详解,敬请期待……

写了当前弧优化的Dinic能轻松过……没写全TLE

虽然没写当前弧优化的ISAP能更快的过前三个点,但最后一个点过不了……QwQ

我没有试过当前弧优化的ISAP

更新:有当前弧优化的ISAP可以过

但是如果边数不多,当前弧优化可能就成了负优化了……所以需要根据题目数据合理使用

文章来源于互联网:算法学习笔记(8.1): 网络最大流算法 EK, Dinic, ISAP

THE END
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