贪心算法Dijkstra

Dijkstra

最短路径问题 : 给定一个带权有向图 G = (V, E, W),同时给定一个源点 u (u ∈ V),我们要找出从源点 u 出发到其它各点的最短路径距离,并得出这些最短路径的具体路径有哪些边构成。

其实我们要求的就是从 源点 u 出发到 其它各点 str的最短路径所组成的路线网络,也就是一个 最短路径树

最短路径问题 : 给定一个带权有向图 G = (V, E, W),同时给定一个源点 u (u ∈ V),我们要找出从源点 u 出发到其它各点的最短路径距离,并得出这些最短路径的具体路径有哪些边构成。

我们以下面这个带权有向图为示例

贪心算法Dijkstra插图

我们若以 A 为源点,得到如下的最短路径

贪心算法Dijkstra插图1

我们可以把源点到各点最短路径用绿色标记一下

贪心算法Dijkstra插图2

我们可以看出所有的最短路径构成了一个最短路径树

贪心算法Dijkstra插图3

我们要求的从 源点 到 其它各点 的最短路径所组成的路线网络,就是这个最短路径树。

在上面的图中,我们不难发现,当我们确定了源点 u 到某个其它的点 v 的最短路径时,在这个最短路径的具体路线中,若有一个中转点 t,那么在这个最短路径中从源点 ut 的路径也一定是 ut最短路径(之一)。也就是说,假设源点 uv 的最短路径为 p,那么p任意的前缀路径 q 一定是最优的(最短路径之一)。如果 q 不是最优的,那么就会存在另一个更短的路径比 p 更短。

这个性质还是很重要的,是解决单源最短路径问题的核心

我们画个图来理解一下
贪心算法Dijkstra插图4

歧义性

在上面的阐述中也稍微提到一点,就是最短路径其实不一定是唯一的,有可能存在两个路径,它们的路径距离一样且都是最短的,那么此时我们二选其一就可以啦。还有一个问题就是,我们的边权都应当是正数,如果边权存在非正数,那么我们是无法定义这个图中的最短路径的(距离确实不能是非正数呀,除了自己到自己🤔)。

无环性

这个性质其实很好理解,既然我们得到的所有最短路径构成的是一个 最短路径树,那么作为一个树,它必不会存在环。也可以由之前的 单调性 得出这个性质。


Dijkstra 算法是由荷兰计算机科学家 Edsger Wybe Dijkstra 在1956年提出的,一般解决的是 带权有向图单源最短路径问题
接下来介绍如何用 Dijkstra 算法求解 单源最短路径问题

Dijkstra 算法将会充分利用 最短路径树单调性 这一性质。先定下源点 u,然后采用 贪心 的策略,不断去访问与源点 u 相接且之前未被访问过的最近的顶点 v(这句话里相接的意思是指可以从 u 到达 v),使得当前的最短路径树得到扩充,一直到所有顶点都在当前的最短路径树中,那么就得到了源点 u 到其他所有顶点 v 的最短路径。

我们将当前最短路径树所有的顶点所构成的集合称为 集合S,而不在当前最短路径树中的顶点所构成的集合称为集合V-S

1、首先需要定义一个辅助数组 flag[],用于标记每个顶点是否处于当前的 最短路径树 中,后续我们将 最短路径树 称为 集合S。在初始情况下,我们会先将源点 u 划入 集合S;

2、然后我们需要再定义一个数组 dist[],用于记录当前从源点 uv (v∈V-S)的最短路径距离,比如dist[vi]就表示 uvi 的当前最短路径距离。

集合S每一次扩充都需要选择当前不在集合S中且到源点 u 最短距离的顶点 t 作为扩充点,并且将其划入集合S。之后的扩充操作中,就以这个 t 作为中转点对 dist[v] 进行更新,使其记录的距离减小。在不断扩充集合S的过程中,dist[v]的记录的距离大小不断减小(可能不变),直到最后,其记录的便是整个图中uv 的最短的距离;

另外,一开始我们要先初始化源点 u 到其邻接的顶点的距离。

3、为了还原具体路径,我们还需要一个辅助数组 pre[],用于记录最短路径中每个顶点的前驱顶点。比如 pre[v],其记录的是 uv 的最短路径中,顶点 v 的前驱顶点。在不断扩充集合S的过程中,如果可以借助当前的扩充点 t 到达 v 的距离更短,我们也要更新 v 的前驱为 t,即 pre[v] = t

同样的,我们也要初始化源点 u 为其每个邻接顶点的前驱。

贪心算法Dijkstra插图5

(2)

贪心算法Dijkstra插图6

(3)

贪心算法Dijkstra插图7

(4)

贪心算法Dijkstra插图8

(5)

贪心算法Dijkstra插图9

(6)

贪心算法Dijkstra插图10

(7)

贪心算法Dijkstra插图11


以下程序是基于 图的邻接矩阵 实现的

//距离记录数组 , 前驱数组
int dist[MAX], pre[MAX];  
//集合S标记数组。如果flag[i]=true,说明该顶点i已经加入到集合S(最短路径集合);否则i属于集合V-S
bool flag[MAX];            

void Dijkstra(Graph *G, int u){
    for(int v = 0; v nodenums; v++){
        dist[v] = G->edge[u][v];  //初始化源点u到各邻接点v的距离
        flag[v] = false;
        if(dist[v] != INF)
            pre[v] = u;           //若有邻接边,顶点v有前驱顶点u
        else
            pre[v] = -1;          //若没有,先初始化为-1
    }
    flag[u] = true;               //初始化集合S,只有一个元素: 源点u
    dist[u] = 0;                  //初始化源点u到自己的最短路径为0

    for(int i = 0; i nodenums; i++){
        int tmp = INF, t = u;
        /*  在集合V-S中寻找距离源点u最近的顶点t,使当前最短路径树最优  */
        for(int v = 0; v nodenums; v++){
            if(!flag[v] && dist[v] nodenums; v++){
            //不在集合S中 且 有边
            if(!flag[v] && G->edge[t][v] != INF){
                if(dist[v] > dist[t] + G->edge[t][v]){
                    //源点u可以借助t到达v的距离更短
                    dist[v] = dist[t] + G->edge[t][v];
                    pre[v] = t;
                }
            }
        }
    }
}

还原具体路径代码

我使用了 C++ 自带的 栈 stack,来实现最短路径具体路径的还原。因为记录的是每个顶点的前驱,所以恰好可以利用 栈 stack 的先进后出的性质。

//还原源点u到各点具体路径
void ShowShortPath(Graph G, int u){
    for(int v = 0; v  st;            
        while(t != u){
            st.push(t);
            t = pre[st.top()];
    }

    cout " "

完整程序(含图的邻接矩阵)

#include
#include
#include
using namespace std;
const int MAX = 100;
const int INF = 1e7;

typedef char ApexType;          //顶点名称数据类型
typedef int EdgeType;           //边权数据类型

typedef struct {

    ApexType apex[MAX];         //顶点表
    EdgeType edge[MAX][MAX];    //矩阵图
    int nodenums, edgenums;     //顶点个数,边个数

}Graph;

//创建邻接矩阵
void CreateGraph(Graph *G){
    int i, j, k;
    int w;
    cout>G->nodenums>>G->edgenums;
    //输入顶点信息
    for(i = 0; i nodenums; i++){
    cout>G->apex[i];
    }
    //初始化各顶点之间的边为无穷大
    for(i = 0; i nodenums; i++)
    for(j = 0; j nodenums; j++)
        G->edge[i][j] = INF;             
    //录入有向边的信息
    for(k = 0; k edgenums; k++){
        EdgeType w;
        cout的对应点下标及权值: ";
        cin>>i>>j>>w;
        G->edge[i][j] = w;
    }
}

//打印图的邻接矩阵
void ShowGraphInMatrix(Graph *G){
    coutnodenums; i++)
        printf("%4c",G->apex[i]);
    coutnodenums; i++){
        printf("%3c", G->apex[i]);
        for(int j = 0; j nodenums; j++){
            if(G->edge[i][j] == INF)
                coutedge[i][j]);
        }
        coutnodenums; v++){
        dist[v] = G->edge[u][v];  //初始化源点u到各邻接点v的距离
        flag[v] = false;
        if(dist[v] != INF)
            pre[v] = u;           //若有邻接边,顶点v有前驱顶点u
        else
            pre[v] = -1;          //若没有,先初始化为-1
    }
    flag[u] = true;               //初始化集合S,只有一个元素: 源点u
    dist[u] = 0;                  //初始化源点u到自己的最短路径为0

    /*   在集合V-S中寻找距离源点u最近的顶点t,使当前最短路径树最优  */
    for(int i = 0; i nodenums; i++){
        int tmp = INF, t = u;
        for(int v = 0; v nodenums; v++){
            if(!flag[v] && dist[v] nodenums; v++){
            if(!flag[v] && G->edge[t][v] != INF){
            //不在集合S中 且 有边
                if(dist[v] > dist[t] + G->edge[t][v]){
                    //源点u可以借助t到达v的距离更短
                    dist[v] = dist[t] + G->edge[t][v];
                    pre[v] = t;
                }
            }
        }
    }
}

//还原源点u到各点具体路径
void ShowShortParth(Graph G, int u){
    for(int v = 0; v  st;            
    while(t != u){
        st.push(t);
        t = pre[st.top()];
    }

        cout " ">u;

    Dijkstra(&G, u);

    cout

结果

贪心算法Dijkstra插图12

单源最短路径及具体路径

贪心算法Dijkstra插图13

原文链接:[最短路径问题]Dijkstra算法(含还原具体路径) - Amαdeus - 博客园 (cnblogs.com)

文章来源于互联网:贪心算法Dijkstra

THE END
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