线性方程组的直接解法——Gauss消去法

考虑线性方程组

[mathrm{A}x=mathrm{b}
]

其中,(mathrm{A}=(a_{ij})_{ntimes n})(mathrm{b}=[b_1,b_2,cdots,b_n]^{mathrm{T}})。在线性代数的课程中,我们已经学习过Gauss消元法,具体操作是将矩阵A转化为“阶梯型”矩阵。为方便起见,本文仅仅讨论系数矩阵非奇异的方程组,此时,目标是将矩阵A转化为上三角矩阵,再执行回代过程,即可给出方程组的解。本文将给出在计算机上的具体操作及实例代码。

一、基本Gauss消去法

我们仅仅讨论对矩阵第一列的操作,剩余的操作可以以此类推,因而不再赘述。
在执行Gauss消去法时,我们将第一列对角元以下的元素全部变为零。记第一列消元操作后的增广矩阵为([mathrm{A}^{(1)},mathrm{b}^{(1)}]),容易知道

[[mathrm{A}^{(1)},mathrm{b}^{(1)}]=
begin{bmatrix}
a_{11} & a_{22} & cdots &a_{1n} & b_1 \
0 & a_{22}^{(1)} &cdots &a_{2n}^{(1)} & b_2^{(1)}\
vdots &vdots & & vdots &vdots\
0 & a_{n2}^{(1)} & &a_{nn}^{(1)} & b_n^{(1)}
end{bmatrix}]

其中

[a_{ij}^{(1)}=a_{ij}-frac{a_{i1}}{a_{11}}a_{1j},j=2,cdots ,n
]
[a_{i1}^{(1)}=0
]
[b_i^{(1)}=b_i-frac{a_{i1}}{a_{11}}b_1
]

观察到重复出现的结构(frac{a_{_{i1}}}{a_{_{11}}}),我们记它为(l_{i1}),称为消元因子,并将它存储在原来(a_{i1})的位置。在计算的过程中,先计算消元因子并存储在相应位置,再执行后续的算法。
对于后续部分的运算,在第k步,只要对矩阵(A^{(k-1)}(k:n,k:n))执行相同操作即可。

二、列主元Gauss消去法

在执行Gauss消元法的过程中,如果(a_{kk}^{(k-1)})相对于其他元素绝对值较小,则会产生较大的舍入误差,影响计算精度,为此,我们引入了列主元Gauss消去法,基于交换矩阵的行不影响线性方程组的解。
记执行完k-1步消元后的增广矩阵为([mathrm{A}^{(k-1)},mathrm{b}^{(k-1)}])。考虑第k列对角元及其以下的部分。选择绝对值最大的元所在行,与当前行执行行交换,再进行Gauss消元法。

三、计算实例

用列主元Gauss消去法解以下线性方程组:

[left{
begin{array}{}
0.5x_1+1.1x_2+3.1x_3=6,\
2x_1+4.5x_2+3.6x_3=0.02,\
5x_1+0.96x_2+6.5x_3=0.96.
end{array}
right.]
#include 
#include 
using namespace std;

int main()
{
    double A_Extended[3][4]={0.5,1.1,3.1,6,2,4.5,3.6,0.02,5,0.96,6.5,0.96};
    double X_solution[3];
    for (int i=0;ifabs(A_Extended[n][i]))
            {
                n=p;
            }
        }

        for (int p=i;p=0;i--)
    {
        double sum=0;
        for (int k=2;k>i;k--)
        {
            sum=sum+A_Extended[i][k]*X_solution[k];
        }
        X_solution[i]=(A_Extended[i][3]-sum)/A_Extended[i][i];
    }

    cout

文章来源于互联网:线性方程组的直接解法——Gauss消去法

THE END
分享
二维码