子数组的最大异或和问题

子数组的最大异或和问题

作者:Grey

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博客园:子数组的最大异或和问题

CSDN:子数组的最大异或和问题

题目描述

数组中所有数都异或起来的结果,叫做异或和。给定一个数组 arr,其中可能有正、有负,有零,返回 arr 的最大子数组异或和

题目链接见:牛客-子数组的最大异或和

暴力解

枚举每个子数组的异或和,抓取全局最大值返回,整个算法时间复杂度(O(N^3)),整个过程比较简单,不赘述,基于这个暴力解法,可以有优化一些的算法,就是利用前缀异或和数组,时间复杂度可以减少到(O(N^2)),思路如下

第一步

申请一个和原始数组一样长的前缀异或和数组

int[] eor = new int[arr.length];

其中eor[i]表示原始数组 0 位置到 i 位置的异或和是多少,实现代码如下:

    eor[0] = arr[0];
    for (int i = 1; i 

有了 eor 数组以后,对于任意 i 位置,0 到 i 区间的异或和就可以直接获取到了,接下来是枚举数组中任意两个位置 i 和 j 区间的异或和,由于

i ~ j 之间的异或和等于 eor[j] ^ eor[i-1](i > 0),所以

任何两个位置之间的异或和信息可以通过如下代码求得,其中 max 是全局异或和的最大值

    for (int i = 1; i 

完整代码如下

  public static int maxEor1(int[] arr, int n) {
    int[] eor = new int[arr.length];
    int max = arr[0];
    eor[0] = arr[0];
    for (int i = 1; i 

整个算法复杂度是(O(N^2)),并不是最优解。

最优解

根据上述暴力解法,时间复杂度比较高的部分是:

当确定了 0 ~ i 位置的异或和以后,如何定位 0 ~ j 这个区间,使得 j ~ i 之间的异或和最大。

暴力解法使用的是遍历的方式,而最优解,可以使用前缀树进行加速匹配,关于前缀树的内容,可以参考:前缀树的设计和实现

以数组[11,1,15,10,13,4]为例,我们把其前缀异或和数组转换成二进制,结果如下(其中eor[i..j]表示i~j的异或和)

eor[0..0] = 1011

eor[0..1] = 1010

eor[0..2] = 0101

eor[0..3] = 1111

eor[0..4] = 0010

eor[0..5] = 0110

把这些前缀异或和加入前缀树,

子数组的最大异或和问题插图

接下来,对于任何一个eor[i](0~i的异或和)来说,进入前缀树以后,前缀树需要快速找到和其匹配的eor[j],使得i~j之间的异或和最大,规则就是最高位(符号位)期待一样,紧着高位要期待不一样的值

例如:

eor[2] = 0101

eor[2] 期待和它符号位一样为0的值,紧着高位(由于前面28都是0,所以不存在和它符号不一样的,只看最后4位,

子数组的最大异或和问题插图1

通过这个贪心,就可以在(O(1))时间复杂度直接得到结果。

说明:如果期待遇到 0 可是前缀树没有往 0 方向的路,那直接返回 1 即可,反之亦然。

完整代码如下

  public static int maxEor(int[] arr, int n) {
    int[] eor = new int[arr.length];
    int max = 0;
    eor[0] = arr[0];
    for (int i = 1; i = 0; bit--) {
        int i = ((num >>> bit) & 1);
        if (cur.next[i] == null) {
          cur.next[i] = new Node();
        }
        cur = cur.next[i];
      }
    }

    public int get(int eor) {
      int expect = 0;
      Node cur = head;
      for (int bit = 31; bit >= 0; bit--) {
        // 符号位期待一样的
        // 非符号位期待相反的
        int expectBit = bit == 31 ? ((eor >>> bit) & 1) : (eor >>> bit & 1 ^ 1);
        if (cur.next[expectBit] != null) {
          expect = ((expectBit 

整个算法时间复杂度(O(N)),最优解。

更多

算法和数据结构笔记

文章来源于互联网:子数组的最大异或和问题

THE END
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