大角度非迭代的空间坐标旋转C#实现

1. 绪论

在前面文章中提到空间直角坐标系相互转换,测绘坐标转换时,一般涉及到的情况是:两个直角坐标系的小角度转换。这个就是我们经常在测绘数据处理中,WGS-84坐标系、54北京坐标系、80西安坐标系、国家2000坐标系之间的转换。

所谓小角度转换,指直角坐标系(XOY)和直角坐标系(X'O'Y')之间,对应轴的旋转角度很小,满足泰勒级数展开后的线性模型

大角度非迭代的空间坐标旋转C#实现插图1

常见的三维坐标转换模型有[1]

  • 布尔沙模型
  • 莫洛琴斯基模型
  • 范式模型

但,当两个坐标系对应轴的旋转角度大道一定程度时,则无法使用低阶的泰勒级数展开,且迭代的计算量、精度、速度无法取得平衡[2]。存在以下缺点:

  1. 仅适用于满足近似处理的小角度转换
  2. 设计复杂的三角函数运算
  3. 需要迭代计算

罗德里格矩阵是摄影测量中的常见方法,在该方法中,不需要进行三角函数的计算和迭代运算。计算过程简单明了,易于编程实现。不仅适用于小角度的坐标转换,也适用于大角度的空间坐标转换。

本文将介绍罗德里格矩阵的基本原理和C#实现,并用实例证明解算的有效性。

2. 罗德里格矩阵坐标转换原理

2.1 坐标转换基本矩阵

两个空间直角坐标系分别为(XOY)(X'O'Y'),坐标系原点不一致,存在三个平移参数(Delta X)(Delta Y)(Delta Z)。它们间的坐标轴也相互不平行,存在三个旋转参数(epsilon x)(epsilon y)(epsilon z)。同一点A在两个坐标系中的坐标分别为((X,Y,Z))((X',Y',Z'))

显然,这两个坐标系通过坐标轴的平移和旋转变换可取得,坐标间的转换关系如下:

[left[begin{array}{l}
X \
Y \
Z
end{array}right]=lambda Rleft[begin{array}{l}
X^{prime} \
Y^{prime} \
Z^{prime}
end{array}right]+left[begin{array}{l}
Delta X \
Delta Y \
Delta Z
end{array}right] tag{1}
]

其中,(lambda)是比例因子,(Rleft(varepsilon_Yright) Rleft(varepsilon_Xright) Rleft(varepsilon_Zright))分别是绕Y轴,X轴,Z轴的旋转矩阵。注意,旋转的顺序不同,(R) 的表达形式不同

[begin{aligned}
R & =Rleft(varepsilon_Yright) Rleft(varepsilon_Xright) Rleft(varepsilon_Zright) \
& =left[begin{array}{ccc}
cos varepsilon_Y cos varepsilon_Z-sin varepsilon_Y sin varepsilon_X sin varepsilon_Z & -cos varepsilon_Y sin varepsilon_Z-sin varepsilon_Y sin varepsilon_X cos varepsilon_Z & -sin varepsilon_Y cos varepsilon_X \
cos varepsilon_X sin varepsilon_Z & cos varepsilon_X cos varepsilon_Z & -sin varepsilon_X \
sin varepsilon_Y cos varepsilon_Z+cos varepsilon_Y sin varepsilon_X sin varepsilon_Z & -sin varepsilon_Y sin varepsilon_Z+cos varepsilon_Y sin varepsilon_X cos varepsilon_Z & cos varepsilon_Y cos varepsilon_X
end{array}right]
end{aligned}
]

习惯上称(R)为旋转矩阵,([Delta X,Delta Y,Delta Z]^T)为平移矩阵。只要求出(Delta X)(Delta Y)(Delta Z)(varepsilon_X)(varepsilon_Y)(varepsilon_Z),这7个转换参数,或者直接求出旋转矩阵和平移矩阵,就可以实现两个坐标系间的转换。

2.2 计算技巧-重心矩阵

为计算方便,对所用到的坐标进行重心化处理。将两个坐标系的公共点的坐标均化算为以重心为原点的重心化坐标。分别记为((bar{X}, bar{Y}, bar{Z}))(left(bar{X}^{prime}, bar{Y}^{prime}, bar{Z}^{prime}right))两个坐标系的重心的坐标分别为((X_g, Y_g, Z_g))((X'_g, Y'_g, Z'_g))

[left{begin{array}{l}
X_k=frac{sum_{i=1}^n X_i}{n}, Y_k=frac{sum_{i=1}^n Y_i}{n}, Z_k=frac{sum_{i=1}^n Z_i}{n} \
X_k^{prime}=frac{sum_{i=1}^n X_i^{prime}}{n}, Y_k^{prime}=frac{sum_{i=1}^n Y_i^{prime}}{n}, Z_k^{prime}=frac{sum_{i=1}^n Z_i^{prime}}{n} \
bar{X}_i=X_i-X_k, bar{Y}_i=Y_i-Y_k, bar{Z}_i=Z_i-Z_k \
bar{X}_i^{prime}=X_i^{prime}-X_k^{prime}, bar{Y}_i^{prime}=Y_i^{prime}-Y_k^{prime}, bar{Z}_i^{prime}=Z_i^{prime}-Z_k^{prime}
end{array}right.
]

因此,可以将式(1)变为:

[left[begin{array}{l}
bar{X} \
bar{Y} \
bar{Z}
end{array}right]=lambda Rleft[begin{array}{l}
bar{X}^{prime} \
bar{Y}^{prime} \
bar{Z}^{prime}
end{array}right] tag{2}
]
[left[begin{array}{l}
Delta X \
Delta Y \
Delta Z
end{array}right]=left[begin{array}{l}
X_g \
Y_g \
Z_g
end{array}right]-lambda Rleft[begin{array}{l}
X_g^{prime} \
Y_g^{prime} \
Z_g^{prime}
end{array}right] tag{3}
]

因而,转换参数可分两步来求解。先用式(2)求出旋转参数和比例因子,再用式(,3)求出平移参数。

2.3 基于罗德里格斯矩阵的转换方法

对式(2)两边取2-范数,由于(lambda > 0),旋转矩阵为正交阵的特性,可得:

[Vert [bar{X}, bar{Y}, bar{Z}]^T Vert = lambda Vert [bar{X'}, bar{Y'}, bar{Z'}]^T Vert tag{4}
]

对于n个公共点,可得(lambda)的最小均方估计:

[lambda=frac{sum_{i=1}^nleft(left|left[bar{X}_i bar{Y}_i bar{Z}_iright]^{mathrm{T}}right| cdotleft|left[bar{X}_i^{prime} bar{Y}_i^{prime} bar{Z}_i^{prime}right]^{mathrm{T}}right|right)}{sum_i^nleft(left|left[bar{X}_{prime}^{prime} bar{Y}_i^{prime} bar{Z}_i^{prime}right]^{mathrm{T}}right|right)^2}
]

得到比例因子的最小均方估计后,可将旋转矩阵 (R) 表示为:

[R=(I-S)^{-1} (I+S) tag{5}
]

其中,(I)为单位矩阵,(S)为反对称矩阵。将式(5)带入式(3),可得:

[left[begin{array}{c}
bar{X}-lambda bar{X}^{prime} \
bar{Y}-lambda bar{Y}^{prime} \
bar{Z}-lambda bar{Z}^{prime}
end{array}right]=left[begin{array}{ccc}
0 & -left(bar{Z}+lambda bar{Z}^{prime}right) & -left(bar{Y}+lambda bar{Y}^{prime}right) \
-left(bar{Z}+lambda bar{Z}^{prime}right) & 0 & bar{X}+lambda bar{X}^{prime} \
bar{Y}+lambda bar{Y}^{prime} & bar{X}+lambda bar{X}^{prime} & 0
end{array}right]left[begin{array}{l}
a \
b \
c
end{array}right] tag{6}
]

3. C#代码实现

矩阵运算使用MathNet.Numerics库,初始化字段MatrixBuilder mb = Matrix.BuildVectorBuilder vb = Vector.Build

3.1 计算矩阵重心坐标

Vector BarycentricCoord(Matrix coordinate)
{
    Vector barycentric = vb.Dense(3, 1);

    int lenCoord = coordinate.ColumnCount;

    if (lenCoord > 2)
        barycentric = coordinate.RowSums();

    barycentric /= lenCoord;

    return barycentric;
}

3.2 计算比例因子

取2-范数使用点乘函数PointwisePower(2.0)

double ScaleFactor(Matrix sourceCoord, Matrix targetCoord)
{
    double k = 0;

    double s1 = 0;
    double s2 = 0;

    Vector sourceColL2Norm = sourceCoord.PointwisePower(2.0).ColumnSums();

    Vector targetColL2Norm = targetCoord.PointwisePower(2.0).ColumnSums();

    int lenSourceCoord = sourceCoord.ColumnCount;

    int lenTargetCoord = targetCoord.ColumnCount;

    //只有在目标矩阵和源矩阵大小一致时,才能计算
    if (lenSourceCoord == lenTargetCoord)
    {
        s1 = sourceColL2Norm.PointwiseSqrt().PointwiseMultiply(targetColL2Norm.PointwiseSqrt()).Sum();

        s2 = sourceColL2Norm.Sum();
    }

    k = s1 / s2;
    return k;
}

3.3 计算罗德里格参数

这里的罗德里格参数就是式(6)中的([a, b, c]^T)

Vector RoderickParas(double scalceFactor, Matrix sourceCoord, Matrix targetCoord)
{
    Vector roderick = vb.Dense(new double[] { 0, 0, 0 });

    int lenData = sourceCoord.ColumnCount;

    //常系数矩阵
    var lConstant = vb.Dense(new double[3 * lenData]);

    //系数矩阵
    var coefficient = mb.DenseOfArray(new double[3 * lenData, 3]);

    //构造相应矩阵 
    for (int i = 0; i 

3.4 解析罗德里格矩阵

此处,就是式(5)的实现。

/// 
/// 解析罗德里格矩阵为旋转矩阵和平移矩阵
/// 
/// 比例因子
/// 罗德里格矩阵
/// 原坐标系坐标
/// 目标坐标系坐标
/// 
(Matrix, Vector) RotationMatrix(double scaleFactor, Vector roderick, Vector coreSourceCoord, Vector coreTargetCoord)
{
    Matrix rotation = mb.DenseOfArray(new double[,]
    {
        {0,0,0 },
        {0,0,0 },
        {0,0,0 }
    });

    //反对称矩阵
    Matrix antisymmetric = mb.DenseOfArray(new double[,]
    {
        {          0, -roderick[2], -roderick[1] },
        {roderick[2],            0, -roderick[0] },
        {roderick[1],  roderick[0],            0 }
    });

    // 创建单位矩阵
    // 然后与式(5)的 S 执行 + 和 - 操作
    rotation = (DenseMatrix.CreateIdentity(3) - antisymmetric).Inverse() * (DenseMatrix.CreateIdentity(3) + antisymmetric);

    translation = coreTargetCoord - scaleFactor * rotation * coreSourceCoord;

    return (rotation, translation);
}

3.5 调用逻辑

// 1. 字段值准备
MatrixBuilder mb = Matrix.Build;
VectorBuilder vb = Vector.Build;

// 2. 写入源坐标系的坐标。注意这里的x,y,z输入顺序
Matrix source = mb.DenseOfArray(new double[,]
{
    {-17.968, -12.829, 11.058 },
    {-0.019 , 7.117,   11.001 },
    {0.019  , -7.117,  10.981 }
}).Transpose();

// 3. 写入目标坐标系的坐标
Matrix target = mb.DenseOfArray(new double[,]
{
    { 3392088.646,504140.985,17.958 },
    { 3392089.517,504167.820,17.775 },
    { 3392098.729,504156.945,17.751 }
}).Transpose();

// 4. 重心化
var coreSource = BarycentricCoord(source);
var coreTarget = BarycentricCoord(target);

var sourceCoords = source - mb.DenseOfColumnVectors(coreSource, coreSource, coreSource);
var targetCoords = target - mb.DenseOfColumnVectors(coreTarget, coreTarget, coreTarget);

// 5. 求比例因子
double k = ScaleFactor(sourceCoords, targetCoords);

// 6. 解算咯德里格参数
var roderick = RoderickParas(k, sourceCoords, targetCoords);

// 7. 旋转
(Matrix ro, Vector tran) = RotationMatrix(k, roderick, coreSource, coreTarget);

Console.WriteLine("比例因子为:");
Console.WriteLine(k);

Console.WriteLine("旋转矩阵为:");
Console.WriteLine(ro.ToString());

Console.WriteLine("平移参数为:");
Console.WriteLine(tran.ToString());

Console.WriteLine("计算结果为:");
Console.WriteLine(source2.ToString());

4. 总结

基于罗德里格矩阵的转换方法,在求解两个坐标系间的转换参数,特别是旋转角较大时,实现简单、快速。

大角度非迭代的空间坐标旋转C#实现插图2


  1. 朱华统,杨元喜,吕志平.GPS坐标系统的变换[M].北京:测绘出版社,1994. ↩︎
  2. 詹银虎,郑勇,骆亚波,等.无需初值及迭代的天文导航新算法0﹒测绘科学技术学报,2015,32(5):445-449. ↩︎

文章来源于互联网:大角度非迭代的空间坐标旋转C#实现

THE END
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