支配树🌴学习笔记

支配树:在 (O(nlog n)) 时间内求出一张有向图中能切断一个点到起点的所有路径的点

具体地,先定义一个起点 (S)(要求它能到达所有点),对于图中一个点 (u),存在一些点 (v),使得删去某个 (v) 后 (S) 无法走到 (u),这些点 (v) 所组成的集合就是支配树上 (u) 到根的路径。特别地,(u) 的父亲就是离它最近的支配点。

一个很重要的性质:对于任意点 (u),如果 (x) 支配 (u) 且 (y) 支配 (u),则 (x) 与 (y) 之间存在支配关系。
证明显然。由此不难推出支配关系形成一棵树。

求支配树的方法:

1. DAG 上求支配树

按照拓扑序枚举所有点,对于一个点 (u),所有能到达它的点的支配树已经求出, 于是我们枚举 (u) 的入点 (v),找出它们在已求出的支配树上的 LCA,即为 (u) 的支配点(证明感性理解),然后将 (u) 加入支配树。

注意我们需要“动态”求这个 LCA,这问题不大,我们只需要每找到一个 (u) 的父亲时就立即更新它的倍增数组 fa[u][i] 即可。时间复杂度就 (O(nlog n))。

2. 一般图上求支配树

我们发现在 DAG 上很好做,考虑将一般图鼓捣成一个 DAG 且支配关系不变。

用著名的 Tarjan 思想,我们先搜出一棵 dfs 树再说。立即发现一个点 (u) 的支配点一定在它的dfs树的祖先中。

接下来,引入一个大家初学 Tarjan 就熟知的定理:对于有向图的 dfs 树而言,只存在前向边与反向边,不存在横叉边。
即只有祖先向孙子连边或孙子向祖先连边。

同样 DAG 部分,这次我们按dfs序逆序对每个点 (u) 考虑它的所有入点 (v),维护一个“半支配点”(semi_u)。
分两种情况:

  1. (v) 为 (u) 的祖先。
    此时 (v) 能一步走到 (u),所以从 (v) 到 (u) 的路径上所有其它点都不可能成为 (u) 的支配点(否则压根切不断),所以 (u) 的真实支配点应该在 (v) 上方,故用 (v) 更新 (u) 的半支配点。(这里的更新指取 dfs 序最小的作为答案)
  2. (v) 为 (u) 的子孙。
    此时我们考虑 (u) 到 (v) 的路径上所有点 (w) 以及它们的半支配点 (semi_w),发现如果我们割的点在任意一个 (semi_w) 下方,那么从根就可以走路径 (Srightarrow semi_wrightarrow wrightarrow vrightarrow u) 到达 (u),矛盾。因此用所有 (w) 的半支配点 (semi_w) 更新 (u) 的半支配点 (semi_u)。
    画个图理解一下:
    支配树🌴学习笔记插图

更新完毕后,我们就得到了每个点 (u) 的“半支配点”。“半支配点”的本质意义在于,(u) 的真实支配点一定在它的半支配点到根的路径上。因此只保留 dfs 树上的边以及新加入的 (semi_urightarrow u) 的边,整张图的支配关系不变。

于是我们只保留原 dfs 树中的边,将其它边统统删掉,然后对于每个 (u) 加入边 (semi_urightarrow u),在这个新的只有 (2(n-1)) 条边的 DAG 上跑做法 1 即可。

现在只剩下怎么快速对一个点 (v) 找出 (u) 到 (v) 的路径上所有 (w) 的 (semi_w) 的 dfs 序最小值的问题了。

考虑维护每个点 (v) 已访问的祖先中 (semi) 的最小值 (mn_v),查询时恰好就是查询 (v) 的 (mn_v)(因为 (v) 的祖先中第一个未访问的点就是 (u))。用并查集维护,每次访问完一个节点 (u) 就被其父亲 (fa_u) 合并即可。时间复杂度 (O(nalpha(n))) 或 (O(nlog n))(我们都懒得写按秩合并对吧)。

总时间复杂度 (O(nlog n))。

上一个封装好的代码:(注意代码中 (mn_u) 直接写成了 semi[u],所以必须在访问完一个 (u) 之后立即将其加入新图中)

洛谷 P5180 【模板】支配树

#include 
#define For(i,a,b) for(int i=a;i=b;i--)
#define Fin(file) freopen(file,"r",stdin)
#define Fout(file) freopen(file,"w",stdout)
using namespace std;
const int N=2e5+5; typedef long long ll;
class DominatorTree{
    int n,dfn[N],raw[N],dfscnt,semi[N],fa[N],pa[N],ffa[N][18],dep[N],in[N];
    vector to[N],from[N],cp[N],cv[N];
    void dfs(int u){
        raw[dfn[u]=++dfscnt]=u; for(int v:to[u]) if(!dfn[v]) { cp[u].push_back(v); pa[v]=u; dfs(v); }
    }
    int getfa(int x){
        if(x!=fa[x]) { int t=getfa(fa[x]); semi[x]=min(semi[x],semi[fa[x]]); fa[x]=t; } return fa[x];
    }
    int lca(int x,int y){
        if(dep[x]=dep[y]) x=ffa[x][i];
        if(x==y) return x;
        Rev(i,17,0) if(ffa[x][i]!=ffa[y][i]) { x=ffa[x][i]; y=ffa[y][i]; }
        return ffa[x][0];
    }
public:
    void init(int _n) { n=_n; }
    void add_edge(int x,int y) { to[x].push_back(y); from[y].push_back(x); }
    void solve(int* ans){
        dfs(1); assert(dfscnt==n);
        For(i,1,n) { fa[i]=i; semi[i]=dfn[i]; }
        Rev(i,n,2){
            int u=raw[i]; for(int w:from[u]) { getfa(w); semi[u]=min(semi[u],semi[w]); }
            fa[u]=pa[u]; cp[raw[semi[u]]].push_back(u); // Must do it right now!
        }
        For(u,1,n) for(int v:cp[u]) { cv[v].push_back(u); in[v]++; }
        static int q[N],h,t; h=t=0; q[t++]=1;
        while(h son[N];
void dfs(int u) { siz[u]=1; for(int v:son[u]) { dfs(v); siz[u]+=siz[v]; } }
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
    cin>>n>>m; T.init(n); For(i,1,m) { int x,y; cin>>x>>y; T.add_edge(x,y); }  T.solve(ans);
    // For(i,1,n) cerr

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THE END
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