LibTorch | 使用神经网络求解一维稳态对流扩散方程

0. 写在前面

本文将使用基于LibTorchPyTorch C++接口)的神经网络求解器,对一维稳态对流扩散方程进行求解。研究问题参考自教科书(^{[1]})示例 8.3。

1. 问题描述

一维稳态对流扩散方程为

[nabla cdot left( vec{u}phi right) = nablacdot left( Gamma nablaphi right) + S
]

其中,均匀恒定速度 (u=2.0 mathrm{m/s}) ,运动粘性系数 (Gamma = 0.03 mathrm{m^2/s}) ,源项 (S) 的形式后文将叙述。

假设一维计算域长度为 (L=1.5 mathrm{m}),其上分布有均匀恒定速度场;待求物理量为 (phi),边界条件为左侧((x=0))处给定一类边界条件((phi=0)),右侧((x=L))处给定二类边界条件((phi_{,x}=0))。如下图(图片来自教科书(^{[1]}),图8.7)所示。

LibTorch | 使用神经网络求解一维稳态对流扩散方程插图

在计算域上源项分布如下图(图片来自教科书(^{[1]}),图8.8)所示:

LibTorch | 使用神经网络求解一维稳态对流扩散方程插图1

其中,(a=-200)(b=100)(x_1=0.6)(x_2=0.2)

源项数学表达式如式(1)所示。

[S = left{
begin{aligned}
-200 x + 100&, 0.0leqslant x

3. 解析解

上述一维稳态对流扩散方程存在解析解(参考文献中公式直接计算数值不对,这里做了一些修改,如果错了还请读者斧正):

[frac{phi(x)}{0.75b/L^2}= -C_1 - C_2 exp(Px)
+ frac{a_0}{P^2}left( Px +1right)
+ sum_{n=1}^{infty} a_nleft(frac{L}{npi}right)
frac{
P sinleft(frac{npi x}{L}right) + left(frac{npi}{L}right)cosleft(frac{npi x}{L}right)
}
{
P^2 + left(frac{npi}{L}right)^2
}
]

其中,

[begin{aligned}
P&=frac{u}{Gamma} \
C_2&=frac{a_0}{P^2expleft(PLright)} +
sum_{n=1}^{infty} frac{a_ncosleft(npiright)}
{expleft(PLright)left[P^2 + left(frac{npi}{L}right)^2right]}\
C_1&= -C_2 + frac{a_0}{P^2} +sum_{n=1}^{infty} frac{a_n}{P^2 + left(frac{npi}{L}right)^2} \
a_0&= frac{left(x_1+x_2right)left(ax_1+bright)+bx_1}{2L}\
a_n&= frac{2L}{n^2pi^2}
left{
left(frac{aleft(x_1+x_2right)+b}{x_2}right)cosleft(frac{npi x_1}{L}right)
-
left[
a + left(frac{ax_1+b}{x_2}right)
cosleft(frac{npileft(x_1+x_2right)}{L}right)
right]
right}\
end{aligned}
]

使用下面代码绘制解析解曲线。

import math
import matplotlib.pyplot as plt

a = -200.0 # [1/m]
b =  100.0 # [1]

L = 1.5    # [m]

x_1 = 0.6  # [m]
x_2 = 0.2  # [m]

u     = 2.0  # [m/s]
Gamma = 0.03 # [m^2/s]

P     = u / Gamma # [1/m]
P2    = P * P     # [1/m^2]
expPL = math.exp( P * L )

num_terms = 20000

def a_n(n):
    if n == 0 :
        return ( ( x_1 + x_2 ) * ( a * x_1 + b ) + b * x_1 ) / ( 2.0 * L )
    else:
        alpha = n * math.pi / L
        term0 = 2.0 * L / n / n / math.pi / math.pi
        term1 = ( a * ( x_1 + x_2 ) + b ) / x_2 * math.cos( alpha * x_1  )
        term2 = a + ( a * x_1 + b ) / x_2 * math.cos( alpha * ( x_1 + x_2 ) )
        return term0 * ( term1 - term2 )

def C2():
    term0 = a_n(0) / P2 / expPL
    term1 = 0.0
    for i in range(1,num_terms + 1):
        alpha = i * math.pi / L
        coeff = ( P2 + alpha * alpha )
        term1 += a_n(i) / expPL * math.cos( i * math.pi ) / coeff

    return term0 + term1

def C1():
    term0 = C2()
    term1 = a_n(0) / P2
    term2 = 0.0
    for i in range(1,num_terms + 1):
        alpha = i * math.pi / L
        coeff = ( P2 + alpha * alpha )
        term2 += a_n(i) / coeff

    return -term0 + term1 + term2

def phi(x):
    term0 = C1()
    term1 = C2() * math.exp( P * x )
    term2 = a_n(0) / P2 * ( P * x + 1.0 )
    term3 = 0.0
    for i in range(1,num_terms + 1):
        alpha = i * math.pi / L
        coeff = ( P2 + alpha * alpha )
        term3 += a_n(i) / alpha * ( P * math.sin( alpha * x ) + alpha * math.cos( alpha * x ) ) / coeff

    return term0 + term1 - term2 - term3

x = []
y = []
num_points = 50
for i in range(num_points):
    x_ = L / ( num_points - 1 ) * i
    x.append( x_ )
    y.append( -phi(x_) * 0.75 * b / L / L ) # 这里对参考文献中的公式做了修改

plt.grid()
plt.xlim( 0, 1.5 )
plt.ylim( 0, 12  )
plt.plot( x, y )
plt.show()

图像如下所示:
LibTorch | 使用神经网络求解一维稳态对流扩散方程插图2

4. 神经网络

上述流畅处于稳态时,物理量 (phi) 是位置 (x) 的函数,即 (phi=f(x))。那么我们这里的想法就是利用神经网络来表示这个函数,并通过利用机器学习方法(监督学习、自动微分)使该函数满足控制方程和边界条件。

对于上述关系,我们可以涉及类似下图中这种全连接神经网络(使用NN-SVG绘制)。

LibTorch | 使用神经网络求解一维稳态对流扩散方程插图3

4.1 网络结构

这里我们设置了一个含有6层神经元的全连接神经网络,形式如上图所示,输入层和输出层均只有一个神经元,剩余4个隐藏层每层含有256个神经元。

神经网络类的声明如下,保存在文件 nets.hpp 文件中,其中需要声明向前传播算法方法以及相关模块变量。

#ifndef NETS_HPP
#define NETS_HPP

#include 
// 神经网络类
class Net : public torch::nn::Module {
public:
  Net(const int inDim, const int outDim);

  torch::Tensor forward(at::Tensor x);

private:
  torch::nn::Linear input{nullptr};
  torch::nn::Linear hidden0{nullptr};
  torch::nn::Linear hidden1{nullptr};
  torch::nn::Linear hidden2{nullptr};
  torch::nn::Linear output{nullptr};
};

#endif // NETS_HPP

接下来看一下神经网络的实现,我们将其实现保存在 nets.cpp 文件中,其中构造函数中将初始化这些模块变量;forward 方法为向前传播的实现,数据传播过程为 (1to 256to 256to 256to 256to 1),网络接受一个标量输入并最终返回一个标量输出;另外隐藏层全部采用 tanh 函数作为激活函数。

#include "nets.hpp"

Net::Net(const int inDim, const int outDim) {
  input = register_module("input", torch::nn::Linear(inDim, 256));
  hidden0 = register_module("hidden0", torch::nn::Linear(256, 256));
  hidden1 = register_module("hidden1", torch::nn::Linear(256, 256));
  hidden2 = register_module("hidden2", torch::nn::Linear(256, 256));
  output = register_module("output", torch::nn::Linear(256, outDim));
}

torch::Tensor Net::forward(at::Tensor x) {
  // 输入层   : 1   --> 隐藏层 0 : 256
  torch::Tensor phi = input->forward(x);
  phi = torch::tanh(phi); // 激活函数
  // 隐藏层 0 : 256 --> 隐藏层 1 : 256
  phi = hidden0->forward(phi);
  phi = torch::tanh(phi); // 激活函数
  // 隐藏层 1 : 256 --> 隐藏层 2 : 256
  phi = hidden1->forward(phi);
  phi = torch::tanh(phi); // 激活函数
  // 隐藏层 2 : 256 --> 隐藏层 3 : 256
  phi = hidden2->forward(phi);
  phi = torch::tanh(phi); // 激活函数
  // 隐藏层 3 : 256 --> 输出层   : 1
  phi = output->forward(phi);
  //
  return phi;
}

4.2 源项代码

分布源项为分段函数,这块比较简单,直接给出头文件和实现。

函数声明保存在 utils.hpp 文件中。

#ifndef UTILS_HPP
#define UTILS_HPP

float Source(const float x);

#endif // UTILS_HPP

函数实现保存在 utils.cpp 文件中。

#include "utils.hpp"

float Source(const float x) {
  if (x  0.8) {
    return 0.0;
  } else {
    return 100.0 * x - 80.0;
  }
}

4.3 训练代码

这里,我们将训练代码保存在 main.cpp 文件中。由于空间位置不变,我们在迭代训练外构造输入参数。

graph TB
A(开始) --> B[构造输入]
B[构造输入] --> C[初始化神经网络和优化器]
C[初始化神经网络和优化器] --> D[迭代训练]
D[迭代训练] --> E[向前传播]
E[向前传播] --> F[构造损失函数]
F[构造损失函数] --> G[反向传播]
G[反向传播] --> H[更新参数]
H[更新参数] --> I[判断收敛]
I[判断收敛] --> J{是否收敛}
J{是否收敛} -- 是 --> K(结束)
J{是否收敛} -- 否 --> D[迭代训练]

代码实现如下所示,其中计算PDE的损失时用到了自动微分,可参考笔者之前的随笔LibTorch 自动微分

#include 
#include 
#include 
#include 

#include "nets.hpp"
#include "utils.hpp"

int main(int argc, char *atgv[]) {
  std::cout  x;
  for (int i = 0; i  net = std::make_shared(1, 1);
  std::shared_ptr<:optim::sgd> optimizer =
      std::make_shared<:optim::sgd>(net->parameters(), 1.e-4);

  // 开始迭代训练
  double lossVal = 10;
  int epochIdx = 0;
  std::vector sol(numElement);
  while (lossVal > 1.e-3) {
    // 向前传播,最终输出是一个[N,1]的输出
    torch::Tensor out = net->forward(xT);

    // 构造损失函数(由3部分组成,PDE和两侧边界条件)
    auto ones = torch::ones_like(out);
    torch::Tensor ddx =
        torch::autograd::grad({out}, {xT}, {ones}, true, true, false)[0];
    torch::Tensor d2dx2 =
        torch::autograd::grad({ddx}, {xT}, {ones}, true, true, false)[0];
    auto sourceTerm = torch::zeros_like(out);
    for (int i = 0; i ());
    }
    auto pde = 2.0 * ddx - 0.03 * d2dx2;
    auto pdeLoss = torch::mse_loss(pde, sourceTerm); // 偏微分方程

    auto tag1 = torch::zeros_like(out);
    for (int i = 0; i ();
      }
    }
    auto bndLoss1 = torch::mse_loss(out, tag1); // 左侧边界条件

    auto tag2 = torch::zeros_like(ddx);
    for (int i = 0; i ();
      }
    }
    auto bndLoss2 = torch::mse_loss(ddx, tag2); // 右侧边界条件

    auto totalLoss = pdeLoss + bndLoss1 + bndLoss2;

    // 反向传播
    optimizer->zero_grad();
    totalLoss.backward();
    optimizer->step();

    // 打印日志
    lossVal = totalLoss.item();
    std::cout ()
              ()
              ()
              ();
    }
  }

  // 保存结果
  std::ofstream os;
  os.open("solution.txt", std::ios::out);
  for (int i = 0; i 

4.4 CMakeLists.txt

这里使用 CMake 管理程序代码,内容如下所示。

cmake_minimum_required( VERSION 3.8 )

project( LibTorch)

set( CMAKE_CXX_STANDARD 14 )

set( INSTALL_PREFIX "D:/SoftwarePackage" )

## LibTorch
find_package(Torch REQUIRED PATHS "${INSTALL_PREFIX}/libtorch/share/cmake/Torch")
link_directories( "${INSTALL_PREFIX}/libtorch/lib" )

# My own code 
include_directories( . )
set(SRCS
    nets.cpp
    utils.cpp
)

set(CMAKE_CXX_FLAGS "${CMAKE_CXX_FLAGS} ${TORCH_CXX_FLAGS}" )
add_executable ( ${PROJECT_NAME} main.cpp ${SRCS} )
target_link_libraries(${PROJECT_NAME} ${TORCH_LIBRARIES} )

5. 结果处理

神经网络训练了近4万6千多次才满足收敛标准,其实还是挺慢的。其中误差最主要来自于神经网络无法满足偏微分方程(PDE),这和很多因素有关,比如网络结构,收敛判据等。

LibTorch | 使用神经网络求解一维稳态对流扩散方程插图4

从下图数值结果来看,训练的神经网络给出的结果与解析解能够较好吻合,后段有一个明显的误差,但是相对较小,这个误差应该来自网络本身,网络结构简单,改进空间应该还是比较大。
LibTorch | 使用神经网络求解一维稳态对流扩散方程插图5

本文写的比较简单,也没有使用批训练。此外,感兴趣的小伙伴可以尝试使用OpenFOAM求解,可参考笔者之前的随笔 OpenFOAM 编程 | One-Dimensional Transient Heat Conduction

参考文献

[1] H. Versteeg , W. Malalasekera. Introduction to Computational Fluid Dynamics, An: The Finite Volume Method 2nd Edition[M]. Pearson. 2007.

        
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2022-09-11 17:12 
Fitanium 
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